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✏️ 章节练习

精心设计的练习题，帮助巩固二次联立方程的理解和应用，包括基础、提升和拓展练习。

练习题说明

本练习题分为三个难度等级，从基础概念巩固到思维拓展，帮助学生循序渐进地掌握二次联立方程的核心概念。每题均配备详细答案解析。

基础题

基础代入消元法练习

1.
解方程组：
\[ \begin{cases} y = x + 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \]
（提示：将 \( y = x + 1 \) 代入二次方程，转化为 \( x^2 + (x + 1)^2 = 25 \) 求解）
答案：
将 \( y = x + 1 \) 代入：\( x^2 + (x + 1)^2 = 25 \)，
\( x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25 \)，\( 2x^2 + 2x + 1 = 25 \)，\( 2x^2 + 2x - 24 = 0 \)，
\( x^2 + x - 12 = 0 \)，\( (x + 4)(x - 3) = 0 \)，\( x = -4 \) 或 \( x = 3 \)。
当 \( x = -4 \)，\( y = -4 + 1 = -3 \);
当 \( x = 3 \)，\( y = 3 + 1 = 4 \)。
验证：\( (-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25 \)，成立；\( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)，成立。

提升题

提升综合应用练习

2.
消去 \( y \) 并求解：
\[ \begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2x^2 + xy = 10 \end{cases} \]
（步骤：代入后整理为 \( 2x^2 + x(3x - 2) = 10 \)，再解一元二次方程）
答案：
将 \( y = 3x - 2 \) 代入：\( 2x^2 + x(3x - 2) = 10 \)，
\( 2x^2 + 3x^2 - 2x = 10 \)，\( 5x^2 - 2x - 10 = 0 \)。
用求根公式：\( x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 200}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{204}}{10} = \frac{2 \pm 2\sqrt{51}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{51}}{5} \)。
当 \( x = \frac{1 + \sqrt{51}}{5} \)，\( y = 3×\frac{1 + \sqrt{51}}{5} - 2 \);
当 \( x = \frac{1 - \sqrt{51}}{5} \)，\( y = 3×\frac{1 - \sqrt{51}}{5} - 2 \)。
（验证略，代入原方程确认等式成立）

拓展题

挑战思维拓展练习

3.
已知方程组 \( \begin{cases} y = kx + 1 \\ x^2 + 2y^2 = 8 \end{cases} \) 有且仅有一组解，求 \( k \) 的值。
（提示：代入后得到关于 \( x \) 的一元二次方程，令判别式 \( \Delta = 0 \)）
答案：
将 \( y = kx + 1 \) 代入：\( x^2 + 2(kx + 1)^2 = 8 \)，
\( x^2 + 2(k^2x^2 + 2kx + 1) = 8 \)，\( x^2 + 2k^2x^2 + 4kx + 2 = 8 \)，
\( (1 + 2k^2)x^2 + 4kx + 2 - 8 = 0 \)，\( (1 + 2k^2)x^2 + 4kx - 6 = 0 \)。
判别式 \( \Delta = 16k^2 + 4×(1 + 2k^2)×6 = 16k^2 + 24(1 + 2k^2) = 16k^2 + 24 + 48k^2 = 64k^2 + 24 \)。
令 \( \Delta = 0 \)，\( 64k^2 + 24 = 0 \)，\( 64k^2 = -24 \)，无实数解。
（这说明判别式恒大于0，方程组总是有两组解或无解，不可能只有一组解）

练习技巧与建议

💡 练习策略

  • 熟练掌握代入法：从线性方程解出变量，代入二次方程转化为一元二次方程
  • 仔细代数运算：展开和整理时注意符号和系数，避免计算错误
  • 验证每组解：求得解后必须代入原方程验证，确保答案正确
  • 注意解的个数：二次联立方程最多有2组解，对应直线与二次曲线的交点
  • 参数方程处理：对于含参数的方程组，学会利用条件求解参数

通过系统练习，你将熟练掌握二次联立方程的求解技巧，为学习更复杂的方程组和实际应用问题打下坚实基础。